সহ-সম্বন্ধ (পৰিসংখ্যা)

সহ-সম্বন্ধ (Correlation) বা কোৰিলেচন হৈছে দুটা যাদৃচ্ছিক চলক বা দ্বিচলকীয় তথ্যৰ মাজৰ সম্পৰ্ক। যদিও বহল অৰ্থত "সম্পৰ্ক"ই যিকোনো ধৰণৰ সংযোগক সূচাই, পৰিসংখ্যাত ই সাধাৰণতে দুটা বা তাতোধিক চলকৰ সম্পৰ্কৰ মাত্ৰাক বুজায়। নিৰ্ভৰশীল পৰিঘটনাৰ চিনাকি এটা উদাহৰণ হ’ল পিতৃ-মাতৃ আৰু তেওঁলোকৰ সন্তানৰ উচ্চতাৰ মাজৰ সম্পৰ্ক। আন এটা উদাহৰণ স্বৰূপে, "এজন ব্যক্তিয়ে কাম কৰা ঘণ্টা" আৰু "তেওঁ উপাৰ্জন কৰা আয়" দুয়োটা চলকৰ মাজত সহ-সম্বন্ধ থাকিব যদিহে কাম কৰা ঘণ্টা বৃদ্ধিৰ সৈতে আয় বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হয়। সহ-সম্বন্ধৰ তিনিটা সম্ভাৱ্য ফলাফল হʼব পাৰে: এটা ধনাত্মক সম্পৰ্ক, এটা ঋণাত্মক সম্পৰ্ক আৰু কোনো সম্পৰ্ক নাই।^১ স্কেটাৰ গ্ৰাফত ডাটা পইণ্টবোৰ যিমানেই বেষ্ট ফিটৰ ৰেখাৰ ওচৰত থাকে সিমানেই সম্পৰ্ক শক্তিশালী হ’ব।

মূলতঃ দুটা বা তাতকৈ অধিক চলক ইটোৱে সিটোৰ লগত কেনেদৰে সম্পৰ্কিত তাৰ পৰিমাপ হ’ল কোৰিলেচন। কেইবাটাও কোৰিলেচন সহগ বা কোৰিলেচন কোএফিচিয়েণ্ট আছে আছে, যিবোৰক প্ৰায়ে ρ বা r দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয় আৰু এই সম্পৰ্কৰ মাত্ৰা অংকৰে জুখিব পাৰি। ইয়াৰে আটাইতকৈ সাধাৰণটো হ’ল পিয়ৰচন কোৰিলেচন কোএফিচিয়েণ্ট, যিটো কেৱল দুটা চলকৰ মাজৰ ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ প্ৰতি সংবেদনশীল (যিটো এটা চলক আনটোৰ অৰৈখিক ফলন হ’লেও উপস্থিত থাকিব পাৰে)। অন্যান্য সম্পৰ্ক সহগসমূহ – যেনে স্পিয়াৰমেনৰ ৰেংক কোৰিলেচন – পিয়ৰছনৰ তুলনাত অধিক শক্তিশালী, অৰ্থাৎ অৰৈখিক সম্পৰ্কৰ প্ৰতি অধিক সংবেদনশীল বুলি বিকশিত কৰা হৈছে।^২৩৪

পিয়াৰচন প্ৰডাক্ট-ম’মেণ্ট সহ-সম্বন্ধ

⟨r_{xy} \quad \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \quad \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1)s_x s_y} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}},⟩

নমুনা সহ-সম্বন্ধ বা কʼৰিলেচন গুণাংক

নমুনা সম্পৰ্ক সহগ ব্যৱহাৰ কৰি জনসংখ্যা পিয়ৰচন সম্পৰ্ক অনুমান কৰিব পাৰি। তলত এটা শৃংখলা দিয়া হৈছে n যোৰৰ এটা শৃংখলা দিয়া হৈছে (Xi, Yi) যʼত i=1,...,n। জনসংখ্যা পিয়ৰচন ρ (X,Y) ৰ মাজত X আৰু Yৰ সম্পৰ্ক অনুমান কৰিবলৈ নমুনা সম্পৰ্ক সহগ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি. ⟨r_{xy} \quad \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \quad \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1)s_x s_y} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}},⟩

য’ত ⟨\overline{x}⟩ আৰু ⟨\overline{y}⟩ নমুনাৰ X আৰু Yৰ গড়। X আৰু Yৰ সংশোধিত নমুনাৰ প্ৰামাণিক বিচ্যুতি হʼল Sx আৰু Sy। ইয়াৰ বাবে সমতুল্য অভিব্যক্তি ⟨r_{xy}⟩ নিম্নলিখিত ধৰণৰ ⟨\begin{align} r_{xy} &=\frac{\sum x_iy_i-n \bar{x} \bar{y}}{n s'_x s'_y} \\[5pt] &=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2}}. \end{align}⟩ য'ত ⟨s'_x⟩ আৰু ⟨s'_y⟩ হৈছে X আৰু Yৰ অশুদ্ধ নমুনা মানক বিচ্যুতি।

ৰেংক সহ-সম্বন্ধ সহগ বা ৰেংক কোৰিলেচন কʼএফিচিয়েণ্ট

ৰেংক কোৰিলেচন কʼএফিচিয়েণ্ট, যেনে স্পিয়াৰমেনৰ ৰেংক সম্পৰ্ক সহগ আৰু কেণ্ডেলৰ ৰেংক সম্পৰ্ক সহগ (τ)য়ে এটা চলক বৃদ্ধিৰ লগে লগে আনটো চলক কিমান বৃদ্ধি হোৱাৰ প্ৰৱণতা থাকে তাক জুখিব পাৰে। ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ প্ৰয়োজনীয়তা অবিহনে এই বৃদ্ধি মূল্যায়ন কৰা হয়। যদি এটা চলক বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে আনটো হ্ৰাস পায়, তেন্তে ৰেংক সম্পৰ্ক সহগসমূহ ঋণাত্মক হ’ব। এই ৰেংক সহ-সম্বন্ধ সহগসমূহক পিয়ৰচন সহগসমূহৰ বিকল্প হিচাপে সাধাৰণতে ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ৰেংক সহ-সম্বন্ধ গণনাৰ পৰিমাণ হ্ৰাস কৰিবলৈ বা বিতৰণত অস্বাভাৱিকতাৰ প্ৰতি সহগটোক কম সংবেদনশীল কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কিন্তু এই দৃষ্টিভংগীৰ গাণিতিক ভিত্তি কম, কিয়নো ৰেংক কʼৰিলেচন সহগসমূহে পিয়ৰচনৰ প্ৰডাক্ট-ম'মেণ্ট সম্পৰ্ক সহগতকৈ বেলেগ ধৰণৰ সম্পৰ্ক জুখিব পাৰে।ৰেংক কʼৰিলেচন জনসংখ্যাৰ সম্পৰ্ক সহগটোৰ বিকল্প পৰিমাপ হিচাপে নহয়, বেলেগ ধৰণৰ সংযোগৰ পৰিমাপ হিচাপেহে দেখা যায়। ^৫৬

তথ্য বিতৰণৰ প্ৰতি সংবেদনশীলতা

X আৰু Y চলকসমূহৰ মাজত নিৰ্ভৰশীলতাৰ মাত্ৰা চলকসমূহ প্ৰকাশ কৰা স্কেলৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে। অৰ্থাৎ যদি আমি X আৰু Y ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বিশ্লেষণ কৰি আছো, তেন্তে X আৰু Yক c + dY লৈ ৰূপান্তৰিত কৰিলে বেছিভাগ সম্পৰ্কীয় পদক্ষেপতে কোনো প্ৰভাৱ নপৰে, য’ত a, b, c, আৰু d ধ্ৰুৱক (b আৰু d ধনাত্মক)। কিছুমান সম্পৰ্ক পৰিসংখ্যাৰ লগতে ইয়াৰ জনসংখ্যাৰ অনুৰূপৰ ক্ষেত্ৰতো এই কথা সত্য। কিছুমান সম্পৰ্ক পৰিসংখ্যা, যেনে ৰেংক সম্পৰ্ক সহগ, X আৰু/বা Y ৰ প্ৰান্তীয় বিতৰণৰ একস্বৰ ৰূপান্তৰৰ বাবেও অপৰিৱৰ্তিত হয়।

বেছিভাগ পাৰস্পৰিক সম্পৰ্কৰ ব্যৱস্থা X আৰু Y ৰ নমুনা লোৱাৰ ধৰণৰ প্ৰতি সংবেদনশীল। যদি মূল্যবোধৰ এক বিস্তৃত পৰিসৰৰ ওপৰত চোৱা হয় তেন্তে নিৰ্ভৰশীলতা অধিক শক্তিশালী হয়। সেয়েহে, যদি আমি সকলো প্ৰাপ্তবয়স্ক পুৰুষৰ তুলনাত পিতৃ আৰু তেওঁলোকৰ পুত্ৰৰ উচ্চতাৰ মাজৰ পাৰস্পৰিক গুণাংকবিবেচনা কৰোঁ, আৰু ইয়াক পিতৃসকলক ১৬৫ চেমিৰ পৰা ১৭০ চেমি উচ্চতাৰ ভিতৰত বাছনি কৰাৰ সময়ত গণনা কৰা একেই পাৰস্পৰিক গুণাংকৰ সৈতে তুলনা কৰোঁ, পিছৰ ক্ষেত্ৰত পাৰস্পৰিক সম্পৰ্ক দুৰ্বল হ'ব। কেইবাটাও কৌশল বিকশিত কৰা হৈছে যি এক বা দুয়োটা চলকত পৰিসৰৰ সীমাবদ্ধতাৰ বাবে সংশোধন কৰা কাৰণে ব্যৱহাৰ হয়, আৰু সাধাৰণতে মেটা-বিশ্লেষণত ব্যৱহাৰ কৰা হয়; আটাইতকৈ আটাইতকৈ বেছি ব্যৱহৃত হয় থৰ্ণ্ডাইকৰ দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰ আৰু তৃতীয় ক্ষেত্ৰ সমীকৰণ।