কল্যাণ অৰ্থনীতিৰ মৌলিক উপপাদ্য

কল্যাণমূলক অৰ্থনীতিৰ ২ মৌলিক উপপাদ্য আছে। প্ৰথম উপপাদ্যৰ মতে কোনো বজাৰ দুৰ্বল পাৰেট' ইষ্টত্বৰ প্ৰতি অগ্ৰসৰ হ'ব যদি এই চৰ্ত পূৰ্ণ হয়^১:

1. পূৰ্ণ বজাৰ, শূণ্য লেনদেন খৰচ আৰু সেয়েহে প্ৰতি কৰ্মীৰ নিখুঁত তথ্য লাভ।

2. সকলোৱে দিয়া মূল্য গ্ৰহণ কৰে, কোনো একাধিপত্যবাদী নাই আৰু বজাৰলৈ আৰু বজাৰৰপৰা মুক্ত প্ৰৱেশ আৰু প্ৰস্থান।

তদুপৰি, প্ৰথম উপপাদ্যৰ মতে সাম্যাৱস্থাত পূৰ্ণ পাৰেট' ইষ্টত্ব দেখা যাব এই অতিৰিক্ত চৰ্ত পূৰ্ণ হ'লে:

3. পছন্দৰ স্থানীয় অসন্তুষ্টি: যিকোনো বাণ্ডলৰ ইচ্ছা কৰা মতে কাষত অন্ততঃ এক এনে বাণ্ডল আছে যাক অধিক পছন্দ কৰা হয়।

দ্বিতীয় উপপাদ্যৰ মতে সকলো পাৰেট' ইষ্ট ফলাফল সম্পত্তিৰ এক-ৰাশি পুনৰ্বিতৰণ কৰি আৰু তাৰ পাছত বজাৰক কাম কৰিবলৈ দি পাব পাৰি।

প্ৰথম উপপাদ্যৰ নিহিতাৰ্থ

প্ৰথম উপপাদ্যটোক প্ৰায় এডাম স্মিথৰ "অদৃশ্য হাত"ৰ ধাৰণাৰ বিশ্লেষণাত্মক স্বীকৃতি বুলি উল্লেখ কৰা হয়। এই ধাৰণাৰ মতে প্ৰতিযোগিতামূলক বজাৰ সম্পদৰ দক্ষ বিতৰণৰ দিশে অগ্ৰসৰ হয়। এই উপপাদ্য আদৰ্শ অৱস্থাত বজাৰত দখল নিদিবলৈ তৰ্ক কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়: বজাৰক নিজেই কাম কৰিবলৈ দিলে ফলাফল পাৰেট' ইষ্টই হ'ব। পিচে পাৰেট' ইষ্টত্বই ইচ্ছিত হ'ব, তাৰ কোনো প্ৰয়োজনীয়তা নাই। পাৰেট' ইষ্টত্বৰ অৰ্থ মাথো এয়া যে কাৰোবাৰ ভাল কৰিবলৈ হ'লে আন কাৰোবাৰ বেয়া কৰিব লাগিব। সম্পদৰ অনেক পাৰেট' ইষ্ট বিতৰণ থাকিব পাৰে আৰু আতাইকেইটা সমাজৰ বাবে ইচ্ছিত নহ'বও পাৰে।^২

ইয়াৰপৰা এনে ধাৰণা কৰিব পৰা যায় যে দখলৰ এক যুক্তিসংগত স্থান আছে নীতি-নিৰ্ধাৰণত- ই আমাক আতাইকেইটা দক্ষ ফলাফলৰ মাজৰপৰা এনে এক ফলাফল চয়ন কৰাত সহায় কৰিব পাৰে যাৰ কিছু ইচ্ছিত গুণাগুণ আছে। পিচে ত্ৰুতি এয়া যে এনে কৰিবলৈ চৰকাৰে এক-ৰাশি পুনৰ্বিতৰণ কৰিব লাগিব আৰু চৰকাৰৰ নিখুঁত তথ্য থাকিব লাগিব প্ৰতিজন গ্ৰাহকৰ পছন্দ আৰু ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানৰ উত্‌পাদন সম্ভাৱনীয়তাৰ বিষয়ে। তদুপৰি, গাণিতিকভাৱে, পছন্দসমূহ আৰু উত্‌পাদনৰ প্ৰযুক্তিসমূহ উত্তল হ'ব লাগিব।^৩

প্ৰথম উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ

প্ৰথম উপপাদ্যটো চিত্ৰৰূপে আবা লাৰ্ণাৰে প্ৰদৰ্শন কৰিছিলে। এই উপপাদ্য হেৰল্ড হ'টেলিং, অস্কাৰ লেঞ্জ, মৰিচ এলে', লিয়'নেল মেকেঞ্জি, কেনেথ এৰ' আৰু জেৰাৰ্ড ডিব্ৰিৱে প্ৰমাণ কৰিছিল। এই উপপাদ্য সাধাৰণ চৰ্তত সত্য হয়।^৩

উপপাদ্যটোৰ অনুষ্ঠানিক উদ্ধৃতি হ'ল এনে: যদি পছন্দসমূহ স্থানীয়ভাৱে অসন্তুষ্ট, আৰু যদি ⟨(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*}, \mathbf{p})⟩ হস্তান্তৰৰ সৈতে এটি মূল্য সাম্যাৱস্থা, তেন্তে বিতৰণ ⟨(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*})⟩পাৰেট' ইষ্ট। এই ধাৰণাত কোনো সাম্যাৱস্থাৰ সম্বন্ধ কেৱল এটি বিনিময় অৰ্থব্যৱস্থাৰ সৈতে আছে অথবা ধৰি লোৱা হয় যে ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানসমূহ আবণ্টন আৰু উৎপাদনৰ ক্ষেত্ৰত দক্ষ, যি নিখুঁতভাৱে প্ৰতিযোগিতামূলক গুণ আৰু উৎপাদন বজাৰৰ পৰা স্থাপিত হ'ব পাৰে।^৩

আমি ধৰি ল'ম যে পণ্যৰ প্ৰকাৰৰ চেট ⟨G⟩ দিয়া আছে আৰু আমি ⟨G⟩ ৰ ওপৰৰ সদিশ স্থল, ⟨\mathbb{R}^{G}⟩ ব্যৱহাৰ কৰিম। সদিশৰ বাবে আমি গঢ় আখৰ ব্যৱহাৰ কৰিম। উদাহৰণ স্বৰূপে, যদি⟨G=\lbrace \text{butter}, \text{cookies}, \text{milk} \rbrace⟩ তেন্তে ⟨\mathbb{R}^{G}⟩ এটি ত্ৰিমাত্ৰিক সদিশ স্থল আৰু সদিশ ⟨\langle 1, 2, 3 \rangle⟩ এ ১ একক বাটাৰ, ২ একক কুকি আৰু ৩ একক গাখীৰৰ বাণ্ডল বুজাই।

ধৰি লওঁ উপভোক্তা i ৰ সম্পত্তি ⟨w_i⟩ যাতে ⟨\Sigma_i w_i = \mathbf{p} \cdot \mathbf{e} + \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y^*_j}⟩ য'ত ⟨\mathbf{e}⟩ পণ্যৰ মুঠ প্ৰদত্ত সম্পত্তি (অৰ্থাত্‌ সকলো উপভোওক্তা আৰু উত্‌পাদকৰ প্ৰদত্ত সম্পত্তিৰ যোগফল) আৰু ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান j ৰ উত্‌পাদন ⟨\mathbf{y^*_j}⟩।

হস্তান্তৰসহ মূল্য সাম্যাৱস্থাৰ সংজ্ঞাই পছন্দ বৃহদায়ন দাবী কৰে। ই বুজাই (উপভোক্তা i ৰ পছন্দ সম্বন্ধ বুজাবলৈ ⟨>_i⟩ ব্যৱহাৰ কৰি):

যদি ⟨\mathbf{x_i} >_i \mathbf{x^*_i}⟩ তেন্তে ⟨\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > \mathbf{w_i}⟩

আন শব্দত, যদি কোনো বাণ্ডলক ⟨\mathbf{x^*_i}⟩ তকৈ অধিক পছন্দ কৰা হয় তেন্তে মূল্য ⟨\mathbf{p}⟩ ত ই সাধ্য (affordable) হ'ব নালাগিব। তদুপৰি স্থানীয় অসন্তুষ্টিৰ বাবে:

যদি ⟨\mathbf{x_i} \geq _i \mathbf{x^*_i}⟩ তেন্তে ⟨\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} \geq \mathbf{w_i}⟩

কাৰণ বুজিবলৈ কল্পনা কৰক যে ⟨\mathbf{x_i} \geq _i \mathbf{x^*_i}⟩ কিন্তু ⟨\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} < w_i⟩। তেন্তে স্থানীয় অসন্তুষ্টিৰ বাবে আমি ⟨\mathbf{x'_i}⟩ বিচাৰি পাম ⟨\mathbf{x_i}⟩ ৰ ইচ্ছা কৰা মতে ওচৰত (আৰু সেয়েহে সাধ্য) কিন্তু যাক ⟨\mathbf{x^*_i}⟩ তকৈ অধিক পছন্দ কৰা হয়। কিন্তু ⟨\mathbf{x^*_i}⟩ পছন্দ বৃহদায়নৰ ফলত পোৱা গৈছে, সেয়ে ই এক অন্তৰ্বিৰোধ।

এটি বিতৰণ এটি জোৰা ⟨(\mathbf{X},\mathbf{Y})⟩ য'ত ⟨\mathbf{X} \in \Pi_{i \in I} \mathbb{R}^{G}⟩ আৰু ⟨\mathbf{Y} \in \Pi_{j \in J} \mathbb{R}^{G}⟩, যাতে ⟨\mathbf{X}⟩ এনে আব্যুহ (সীমিত সংখ্যক বা অসীম শাৰী আৰু স্তম্ভ থকা) য'ত i সংখ্যক স্তম্ভ উপভোক্তা i ক প্ৰদান কৰা হোৱা পণ্যৰ বাণ্ডল আৰু ⟨\mathbf{Y}⟩ এনে এটি আব্যুহ যাৰ j সংখ্যক শাৰী ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান j ৰ উৎপাদন। আমি কেৱল সাধ্য বিতৰণহে গণ্য কৰিম, য'ত কোনো গ্ৰাহকে বা ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানে তেওঁলোকৰ ওচৰত নথকা পণ্য উপভোগ বা বিক্ৰী নকৰে। অৰ্থাৎ, প্ৰতিটো পণ্য আৰু প্ৰতিজন উপভোক্তাৰ বাবে প্ৰথমৰ নিধি আৰু শুদ্ধ চাহিদাৰ যোগফল ধনাত্মক। একেই চৰ্ত ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানৰ বাবেও প্ৰযোজ্য।

এতিয়া বিতৰণ ⟨(\mathbf{X},\mathbf{Y})⟩ লওক, যি বিতৰণ ⟨(\mathbf{X^*}, Y^*)⟩ তকৈ পাৰেট' শ্ৰেষ্ঠ। প্ৰত্যেক i ৰ ক্ষেত্ৰত ⟨\mathbf{x_i} \geq _i \mathbf{x^*_i}⟩ আৰু কিছু i ৰ ক্ষেত্ৰত ⟨\mathbf{x_i} >_i \mathbf{x^*_i}⟩। পূৰ্বৰ তৰ্কৰ পৰা আমি জানো, প্ৰত্যেক i ৰ বাবে ⟨\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} \geq w_i⟩ আৰু কিছু i ৰ বাবে ⟨\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > w_i⟩। যোগ কৰি আমি পাওঁ:

⟨\Sigma _i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > \Sigma _i w_i = \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y^*_j}⟩.

কাৰণ ⟨\mathbf{Y^*}⟩ এ লাভ বৃহাদায়িত কৰে, আমি জানো, ⟨\Sigma _j \mathbf{p} \cdot y^*_j \geq \Sigma _j p \cdot y_j⟩, সেয়েহে ⟨\Sigma _i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y_j}⟩। কিন্তু সকলো পণ্য সংৰক্ষিত হয়, সেয়ে ⟨\Sigma _i \mathbf{x_i} > \Sigma _j \mathbf{y_j}⟩। সেয়ে, ⟨(\mathbf{X},\mathbf{Y})⟩ সাধ্য নহয়। কাৰণ সকলো পাৰেট' শ্ৰেষ্ঠ বাণ্ডল অসাধ্য, সেয়ে ⟨(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*})⟩ নিজেই পাৰেট' ইষ্ট।^৩

মন কৰক যে ⟨\mathbf{Y^*}⟩ এ লাভ বৃহদায়িত কৰে বুলি উপপাদ্যৰ বিৱৰণত ধৰি লোৱা হৈছে। ফলাফল আমোদজনক হ'ব যদি তেনে লাভ বৃহদায়িত কৰা উৎ‌পাদন সম্ভৱপৰ হয়। উৎ‌সাহজনকভাৱে যিকোনো সীমাবদ্ধতাৰ ক্ষেত্ৰত যিয়ে, উৎ‌পাদন বিতৰণ ⟨\mathbf{Y^*}⟩আৰু মূল্যক ০তকৈ আঁতৰত এটি বন্ধ চাবচেটত আবদ্ধ কৰে, যেনে, যিকোনো যুক্তিসংগত নিৰন্তৰ ফলনৰ (সাম্ভাব্য উৎপাদনক স্থিতিমাপিত কৰিবলৈ) ক্ষেত্ৰত তেনে এক বৃহদায়নৰ অস্তিত্ব আছে। ইয়াৰ কাৰণ হ'ল এয়া যে ন্যূনতম প্ৰান্তিক মূল্য আৰু সীমিত সম্পত্তিৰ বাবে অধিকতম উৎ পাদন সীমিত হয় (ন্যূনতম ০) আৰু টাইক'নফৰ উপপাদ্যই নিশ্চিতি প্ৰদান কৰে যে এই সঘন চেটসমূহৰ পূৰণফলো সঘন। সেয়ে যিকোনো নিৰন্তৰ ফলনৰ বৃহদায়নৰ অস্তিত্ব আছে।

দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ

আনুষ্ঠানিকভাৱে, দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যৰ মতে, যদি প্ৰত্যেক উত্‌পাদন চেট ⟨Y_j⟩ উত্তল আৰু প্ৰত্যেক পছন্দ সম্বন্ধ ⟨\geq _i⟩ উত্তল আৰু স্থানীয়ভাৱে অসন্তুষ্ট, তেন্তে প্ৰত্যেক ইচ্ছিত পাৰেট' ইষ্ট বিতৰণেই হস্তান্তৰৰ সৈতে এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা।^৩ এই বাক্য মূল্য সাম্যাৱস্থাৰ বাবে প্ৰমাণ কৰিবলৈ অতিৰিক্ত চৰ্তৰ প্ৰয়োজন।

প্ৰমাণ কৰিবলৈ দুটা কাম কৰিব লাগিব: প্ৰথমে, আমি প্ৰমাণ কৰিম যে প্ৰত্যেক পাৰেট'-ইষ্ট বিতৰণেই এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা, হস্তান্তৰৰ সৈতে; তাৰ পিছত, আমি সেই চৰ্তসমূহ প্ৰদান কৰিম য'ত কোনো মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য-সাম্যাৱস্থাও হয়।

হস্তান্তৰৰ সৈতে অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি বিতৰণ ⟨(x^*,y^*)⟩, এটি মূল্য সদিশ p, আৰু সম্পত্তি সদিশ w (এক-ৰাশি হস্তান্তৰেৰে পোৱা) যাতে ⟨\Sigma _i w_i = p \cdot \omega + \Sigma _j p \cdot y^*_j⟩ (য'ত ⟨\omega⟩ পণ্যৰ মুঠ নিধি আৰু ⟨y^*_j⟩ ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান j ৰ উত্‌পাদন) যাতে:

i. ⟨p \cdot y_j \leq p \cdot y_j^*⟩ প্ৰত্যেক ⟨y_j \in Y_j⟩ ৰ বাবে (ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানসমূহে ⟨y_j^*⟩ উত্‌পাদন কৰি লাভ বৃহদায়িত কৰে) ii. প্ৰত্যেক i ৰ বাবে, যদি ⟨x_i >_i x_i^*⟩ তেনে হ'লে ⟨p \cdot x_i \geq w_i⟩ (যদি ⟨x_i⟩ ক ⟨x_i^*⟩ তকৈ অধিক পছন্দ কৰা হয়, তেন্তে এই বাণ্ডলৰ মূল্য ⟨x_i^*⟩ ৰ মূল্যতকৈ কম হ'ব নোৱাৰে) iii. ⟨\Sigma_i x_i^* = \omega + \Sigma _j y_j^*⟩ (বাজেট বাধ্যতা সন্তুষ্ট হয়)

কেৱল দ্বিতীয় চৰ্তইহে ইয়াক মূল্য-সাম্যাৱস্থাতকৈ পৃথক কৰে। অসমতা ইয়াত দুৰ্বল (⟨p \cdot x_i \geq w_i⟩) যাৰ বাবে ই এক অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা। পাছলৈ ইয়াক বলৱান কৰি মূল্য সাম্যাৱস্থা লাভ কৰিব পৰা যাব।^৩

মানি লওক ⟨V_i⟩ হ'ল উপভোক্তা i এ ⟨x_i^*⟩ তকৈ দৃঢ়ভাৱে পছন্দ কৰা বাণ্ডলসমূহৰৰ চেট। পছন্দ সম্বন্ধ ⟨\geq _i⟩ উত্তল বাবে এই চেটো উত্তল। V উত্তল কাৰণ প্ৰত্যেক ⟨V_i⟩ উত্তল। তেনেদৰেই ⟨Y + \{\omega\}⟩, সকলো উত্‌পাদন চেট ⟨Y_i⟩ ৰ ইউনিয়ন আৰু মুঠ নিধিৰ যোগফলো উত্তল কাৰণ প্ৰত্যেক ⟨Y_i⟩ উত্তল। আমি এই কথাও জানো যে V আৰু ⟨Y + \{\omega\}⟩ ৰ ইণ্টাৰ্চেক্সন সদস্যহীন, কাৰণ অন্যথা এনে এক বাণ্ডল আছে যাক সকলোৱে দৃঢ়ভাৱে ⟨(x^*,y^*)⟩ তকৈ পছন্দ কৰে আৰু যি সাধ্যও হয়। ⟨(x^*,y^*)⟩ ৰ পাৰেট' ইষ্টত্বই এই কথা অসম্ভৱ কৰি তুলে।.

এই দুই উত্তল, উমৈহতীয়া সদস্যহীন চেটে আমাক separating hyperplane উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ অনুমতি প্ৰদান কৰে। এই উপপাদ্যৰ মতে এনে এক মূল্য সদিশ ⟨p \neq 0⟩ আৰু এনে এক সংখ্যা r আছে যাতে ⟨p \cdot z \geq r⟩ প্ৰত্যেক ⟨z \in V⟩ ৰ বাবে আৰু ⟨p \cdot z \leq r⟩ প্ৰত্যেক ⟨z \in Y + \{\omega\}⟩ ৰ বাবে। আন শব্দত, এনে এক মূল্য সদিশ আছে, যিয়ে এনে এক অধি-সমতল সংজ্ঞায়িত কৰে যিয়ে এই দুই উত্তল চেটক পৃথক কৰে।

এতিয়া আমি যুক্তি দিওঁ যে যদি ⟨x_i \geq _i x_i^*⟩ প্ৰত্যেক i ৰ বাবে তেন্তে ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i) \geq r⟩। এয়া স্থানীয় অসন্তুষ্টিৰ বাবে সত্য: এনে এক বাণ্ডল ⟨x'_i⟩ থাকিব লাগিব যি ⟨x_i⟩ ৰ যিমান ইচ্ছিত সিমান ওচৰত আৰু যাক ⟨x_i^*⟩ তকৈ দৃঢ়ভাৱে অধিক পছন্দ কৰা হয়। সেয়ে ই ⟨V_i⟩ ৰ অংশ, আৰু সেয়েহে ⟨p \cdot (\Sigma _i x'_i) \geq r⟩। যেতিয়া ⟨x'_i \rightarrow x_i⟩ তেতিয়া লিমিট ল'লে দুৰ্বল অসমতা সলনি নহয়, সেয়ে ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i) \geq r⟩। In other words, ⟨x_i⟩ is in the closure of V.

এই সম্বন্ধ ব্যৱহাৰ কৰি আমি দেখোঁ যে ⟨x_i^*⟩ ৰ বাবেও ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i^*) \geq r⟩। আমি এই কথাও জানো যে ⟨\Sigma _i x_i^* \in Y + \{\omega\}⟩, সেয়ে ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i^*) \leq r⟩। এই দুই সত্য একত্ৰিত কৰি আমি পাওঁ ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i^*) = r⟩। আমি এই সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰি দেখুৱাব পাৰোঁ যে ⟨(x^*,y^*,p)⟩ এ হস্তান্তৰৰ সৈতে মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থাৰ সংজ্ঞাক সন্তুষ্ট কৰে।

যিহেতু ⟨p \cdot (\Sigma _i x_i^*) = r⟩ আৰু ⟨\Sigma _i x_i^* = \omega + \Sigma _j y_j^*⟩ আমি জানো যে যিকোনো ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠান j ৰ বাবে:

⟨p \cdot (\omega + y_j + \Sigma_h y_h^*) \leq r = p \cdot (\omega + y_j^* + \Sigma_h y_h^*)⟩ যেতিয়াই ⟨h \neq j⟩

যিয়ে বুজাই যে ⟨p \cdot y_j \leq p \cdot y_j^*⟩। ঠিক তেনেদৰেই আমি জানো যে:

⟨p \cdot (x_i + \Sigma_k x_k^*) \geq r = p \cdot (x_i^* + \Sigma_k x_k^*)⟩ যেতিয়াই ⟨k \neq i⟩

যিয়ে বুজাই যে ⟨p \cdot x_i \geq p \cdot x_i^*⟩। এই দুই বাক্যই পাৰেট' ইষ্টত্বত বিতৰণ যে সাধ্য, এই কথাৰ সৈতে, মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থাৰ তিনিওটি চৰ্ত পূৰ্ণ কৰে, যাক সমৰ্থন কৰা হৈছে সম্পত্তিৰ মান ⟨w_i = p \cdot x_i^*⟩ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰত্যেক i ৰ বাবে।

আমি এতিয়া সেই চৰ্ত সমূহ আলোচনা কৰোঁ যিয়ে সুনিশ্চিত কৰে যে এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থাও হয়, অৰ্থাত্‌, সেই চৰ্ত যি পূৰ্ণ হ'লে "যদি ⟨x_i >_i x_i^*⟩ তেন্তে ⟨p \cdot x_i \geq w_i⟩" এ সূচায় "যদি ⟨x_i >_i x_i^*⟩ তেন্তে ⟨p \cdot x_i > w_i⟩"। এই কথা সত্য হ'বলৈ হ'লে আমি ধৰি ল'ব লাগিব যে উপভোগ চেট ⟨X_i⟩ উত্তল আৰু পছন্দ সমন্ধ ⟨\geq _i⟩ নিৰন্তৰ। তেন্তে এনে এক উপভোগ সদিশ ⟨x'_i⟩ আছে যাতে ⟨x'_i \in X_i⟩ আৰু ⟨p \cdot x'_i < w_i⟩, এটি মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থাও হয়।

কাৰণ বুজিবলৈ, ধৰি লওক ⟨x_i >_i x_i^*⟩ আৰু ⟨p \cdot x_i = w_i⟩, আৰু ⟨x_i⟩ ৰ অস্তিত্ব আছে। তেন্তে ⟨X_i⟩ ৰ উত্তলতাৰ বাবে, এনে এক বাণ্ডল ⟨x_i = \alpha x_i + (1 - \alpha)x'_i \in X_i⟩ আছে যাতে ⟨p \cdot x_i < w_i⟩। ⟨\geq _i⟩ ৰ নিৰন্তৰতাৰ বাবে ১ৰ নিকটৱৰ্তী ⟨\alpha⟩ ৰ বাবে ⟨\alpha x_i + (1 - \alpha)x'_i >_i x_i^*⟩। এয়া এক অন্তৰ্বিৰোধ কাৰণ এই বাণ্ডলক ⟨x_i^*⟩ তকৈ পছন্দ কৰা হয় আৰু ব্যয় ⟨w_i⟩ তকৈ কম।

সেয়ে কোনো মূল্য অৰ্ধ-সাম্যাৱস্থা এটি মূল্য সাম্যাৱস্থা হ'বলৈ এই চৰ্ত পৰ্যাপ্ত যে উপভোগ চেট উত্তল, পছন্দ সম্বন্ধ নিৰন্তৰ আৰু সদায় এটি "অধিক সস্তা" উপভোগ বাণ্ডল ⟨x'_i⟩ ৰ অস্তিত্ব থাকে। এনে এক বাণ্ডলৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰিবলৈ প্ৰত্যেক গ্ৰাহক i ৰ সম্পত্তিৰ মান ⟨w_i⟩ ধনাত্মক আৰু ০ৰ অসমান ৰাখিলেই হ'ব।^৩

সম্বন্ধীয় অন্যান্য কিছু উপপাদ্য

এৰ'ৰ অসম্ভৱতা উপপাদ্যক কেতিয়াবা তৃতীয়টো মৌলিক উপপাদ্য বোলা হয়।

দুয়ো উপপাদ্যৰ আদৰ্শ চৰ্ত বিমূৰ্তন হয়। উদাহৰণ স্বৰূপে গ্ৰীণৱাৰ্ড-ষ্টিগ্লিট্‌জ উপপাদ্যৰ মতে, খুঁত থকা তথ্য বা অসম্পূৰ্ণ বজাৰ থাকিলে, বজাৰসমূহ পাৰেট' দক্ষ নহয়। সেয়ে বাস্তৱ জগতত, এই আদৰ্শ চৰ্ত কিমান অপূৰ্ণ হৈ ৰৈছে, তাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি নীতি তৈয়াৰ কৰিব লাগিব পাৰে।^৪ তদুপৰি, যদি এই চৰ্তসমূহ পূৰ্ণ হয়ো,অধিক্ৰমণ প্ৰজন্মৰ মডেলত এই উপপাদ্য সত্য নহয়।

লগতে চাওক

• মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলন
• ৱালৰাছৰ বিধান
• নাশ্ব সাম্যাৱস্থা
• উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব