সেন সূচক

সেন সূচক দাৰিদ্ৰ্যৰ পৰিমাণ জুখিবলৈ ব্যৱহৃত এটি সূচক। এই সূচক ন'বেল বঁটা বিজয়ী অৰ্থনীতিবিদ অমৰ্ত্য সেনে ১৯৭৬ চনত আগবঢ়াইছিল^১। তেওঁ এই কথাও প্ৰমাণ কৰিছিল যে এই সূচক একমাত্ৰ এনে দাৰিদ্ৰ্য পৰিমাপ কৰা সূচক যি কিছু গুৰুত্বপূৰ্ণ আৰু ইচ্ছিত চৰ্ত পূৰ্ণ কৰে। সেন সূচক এনেদৰে সংজ্ঞায়িত-

⟨P=H[I+(1-I)G]⟩

এই সংজ্ঞাত ⟨P⟩ হ'ল সেন সূচক, ⟨H⟩ হ'ল দাৰিদ্ৰ্য সীমা-ৰেখাৰ তলত থকা লোকৰ শতাংশ, ⟨I⟩ হ'ল আয় অন্তৰাল সূচক আৰু ⟨G⟩ হ'ল গিনি গুণাংক।

সংজ্ঞা

সেন সূচক আন কিছু সূচক আৰু গুণাংকৰ সহায়ত সংজ্ঞায়িত। সেয়েহে, সেন সূচকক সংজ্ঞায়িত কৰাৰ পূৰ্বে, আমি সেই অন্য সূচক আৰু গুণাংকৰ সংজ্ঞা নিৰূপণ কৰা বাঞ্চনীয়। তলত প্ৰয়োজনীয় সংজ্ঞাসমূহ প্ৰদান কৰা হৈছে।

• দাৰিদ্ৰ্য সীমা-ৰেখাৰ তলৰ ব্যক্তিৰ শতাংশ (⟨H⟩): দাৰিদ্ৰ্য সীমা-ৰেখা হৈছে সেই নূন্যতম আয়, যাৰ তলত যদি কোনো ব্যক্তিৰ আয় লক্ষ্য কৰা হয়, তেন্তে সেই ব্যক্তিক 'দৰিদ্ৰ' গণ্য কৰা হয়। ধৰি লওক কোনো এক গোটত ⟨n⟩ ব্যক্তি আছে আৰু তাৰেই ⟨q⟩ জন ব্যক্তিৰ আয় দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলত^২। তেন্তে ⟨H=q/n⟩।
• আয় অন্তৰাল সূচক (⟨I⟩): ধৰি লওক যে দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাত নিৰ্ধাৰিত নূন্যতম আয় ⟨z⟩ আৰু এই আয়ৰ তলত থকা ব্যক্তিৰ সংহতি ⟨S(z)⟩। ধৰি লওক ⟨g_i⟩ ব্যক্তি ⟨i⟩ৰ আয়। তেন্তে, ⟨I=\sum_{i \in S(z)}\frac{g_i}{qz}⟩^৩।
• গিনি গুণাংক (⟨G⟩): গিনি গুণাংক হ'ল অসমতাৰ এটি মাপদণ্ড। এই গুণাংক লৰেঞ্জ বক্ৰৰ আধাৰত গণনা কৰা হয়। বাস্তৱ লৰেঞ্জ বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল আৰু পূৰ্ণ সমতা থকা সমাজ এখনৰ লৰেঞ্জ বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাতেই হ'ল গিনি গুণাংক^৪। গিনি গুণাংকৰ সংজ্ঞা এনে ধৰণৰ- ⟨G=\frac{1}{2n^2m}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|y_i-y_j|⟩। যিহেতু আমি কেৱল আপেক্ষিক বঞ্চনা বা দৰিদ্ৰ লোকৰ মাজৰ অসমতাকহে এই প্ৰবন্ধত ব্যৱহাৰ কৰিম, সেয়ে এই সমীকৰণত আমি পাম, ⟨n=q⟩, যি দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলৰ ব্যক্তিৰ সংখ্যা। ⟨y_i, y_j⟩ ব্যক্তি ⟨i, j⟩ৰ আয়। ⟨m⟩ হ'ল জনমূৰি আয়। যিহেতু আমি কেৱল দৰিদ্ৰ লোকৰহে গিনি গুণাংক ব্যৱহাৰ কৰিম, এই প্ৰবন্ধত ⟨m⟩ দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলৰ লোকৰ জনমূৰি আয়।

ওপৰত প্ৰদান কৰা হোৱা সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি, তলত দিয়াৰ দৰে সেন সূচকক সংজ্ঞায়িত কৰিব পৰা যায়- ⟨P=H[I+(1-I)G]⟩।

চৰ্ত

দাৰিদ্ৰ্যৰ ধাৰণা পৰিমাপ কৰাৰ দাবী কৰা যিকোনো সূচকে কিছু বিশেষ চৰ্ত পূৰ্ণ কৰিব লাগিব। এই চৰ্ত এনে যে ই দাৰিদ্ৰ্যৰ অৰ্থৰ কিছু বিশেষ গুণাগুণ আৰু সূচকৰ মাজত সম্বন্ধ স্থাপন কৰে। উদাহৰণ স্বৰূপে, এনে এক চৰ্ত হ'ল- যদি দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলত কোনো ব্যক্তিৰ আয় হ্ৰাস পাইছে আৰু আন কোনো ব্যক্তিৰ আয় সলনি হোৱা নাই (বৃদ্ধিও পোৱা নাই, হ্ৰাসো হোৱা নাই), তেন্তে দাৰিদ্ৰ্যৰ যিকোনো সূচকৰ মূল্য বৃদ্ধি পাব লাগিব, যিহেতু সমাজখনৰ দাৰিদ্ৰ্য বৃদ্ধি পাইছে। পিচে সাধাৰণতে ব্যৱহৃত কিছু সূচকে এই নূন্যতম চৰ্তও পূৰ্ণ নকৰে। যেনে, ⟨H⟩এও এই চৰ্ত পূৰ্ণ নকৰে। উদাহৰণ স্বৰূপে, ধৰি লওক এখন সমাজত ৪ জন মানুহ আছে, আৰু তেওঁলোকৰ বাৰ্ষিক আয় (ভাৰতীয় টকাত) ৫০ হাজাৰ, ১ লাখ, ৬ লাখ আৰু ২০ লাখ। দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখা ⟨z=⟩ ২ লাখ টকা। তেন্তে ২জন ব্যক্তি দৰিদ্ৰ। ⟨H=2/4=0.5⟩। এতিয়া ধৰি লওক কোনো কাৰণত ব্যক্তি ২ৰ আয় ৫১ হাজাৰলৈ হ্ৰাস পালে। পিচে ⟨H⟩ৰ মূল্য এতিয়াও ⟨0.5⟩ কাৰণ দৰিদ্ৰ লোকৰ সংখ্যা এতিয়াও ২। যদিও সমাজখন আগতকৈ অধিক দৰিদ্ৰ হৈ পৰিল, ⟨H⟩এ দাৰিদ্ৰ্যৰ এই বৃদ্ধি পৰিমাপ কৰিবলৈ সমৰ্থ নহ'ল। সেয়ে ⟨H⟩ দাৰিদ্ৰ্যৰ এক সন্তোষজনক মাপদণ্ড নহয়। অমৰ্ত্য সেনে এনে কিছু চৰ্তকেই দাৰিদ্ৰ্যৰ পৰিমাপ কৰা সূচকৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় বুলি যুক্তি দাঙি ধৰিছিল^১-

• স্বতঃসিদ্ধ আৰ: ধৰি লওক ব্যক্তি ⟨i⟩ৰ উপযোগিতা ⟨W_i(\tilde{y})⟩ ব্যক্তি ⟨j⟩ৰ উপযোগিতা ⟨W_j(\tilde{y})⟩তকৈ অধিক, কোনো আয় বিন্যাসত আৰু সূচকত ⟨i⟩ৰ ধনৰ অভাৱ ⟨g_i=z-y_i⟩ৰ প্ৰভাৱৰ ভৰ ⟨v_i⟩ আৰু ⟨j⟩ৰ ধনৰ অভাৱ ⟨g_j=z-y_j⟩ৰ প্ৰভাৱৰ ভৰ ⟨v_j⟩। লগতে ধৰি লওক যে আমি সমাজৰ প্ৰত্যেক ব্যক্তিক উপযোগিতাৰ ক্ৰমত সজাই লৈছোঁ। তেন্তে কোনো ব্যক্তি ⟨i⟩ৰ ভৰ, দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখা ⟨z⟩ আৰু আয় বিন্যাস ⟨\tilde y⟩ৰ বাবে, ⟨v_i(z, \tilde y)=rank\ of\ i⟩।
• স্বতঃসিদ্ধ এম: প্ৰত্যেক ব্যক্তিৰ উপযোগিতা সংখ্যাৰ সংহতি ⟨\{W_i(\tilde y)\}⟩ৰ ওপৰত সংজ্ঞায়িত ⟨>⟩ সম্বন্ধ এটি সম্পূৰ্ণ ক্ৰম (complete ordering) আৰু লগৰেই ব্যক্তিগত আয়ৰ সংহতি ⟨\{y_i\}⟩ৰ ওপৰত সংজ্ঞায়িত সম্বন্ধ ⟨>⟩ পূৰ্বৰ সম্বন্ধৰ এটি উপ-সম্বন্ধ, অৰ্থাৎ, যিকোনো ⟨i, j⟩ৰ বাব, যদি ⟨y_i>y_j⟩, তেন্তে ⟨W_i(\tilde y)>W_j(\tilde y)⟩।
• স্বতঃসিদ্ধ এন: যদি দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলৰ প্ৰত্যেক ব্যক্তিৰ আয় সমান, তেন্তে ইচ্ছিত সূচক ⟨P=HI⟩।

সেনে প্ৰমাণ কৰিছিল যে এই চৰ্তকেইটা পূৰ্ণ কৰা কেৱল এটি মাথো সূচক আছে। সেই সূচকেই হ'ল সেন সূচক।

স্বতঃসিদ্ধ সন্তুষ্টিৰ প্ৰমাণ

ধৰি লওক প্ৰত্যেক ব্যক্তিক কমি নোযোৱা আয়ৰ ক্ৰমত সজোৱা হৈছে আৰু ১ৰ পৰা আগলৈ সংখ্যায়িত কৰা হৈছে। অৰ্থাৎ, ⟨y_1 \leq y_2 \leq .... \leq y_n⟩। লগতে ধৰি লওক দৰিদ্ৰজনৰ সংখ্যা বৃহৎ। সেনে তলত দিয়া উপপাদ্য সিদ্ধ কৰিছিল-

উপপাদ্য: যদি দৰিদ্ৰ লোকৰ সংখ্যা বৃহৎ (⟨q \rightarrow \infin⟩), তেন্তে তলত দিয়া সূচক একমাত্ৰ এনে সূচক যিয়ে স্বতঃসিদ্ধ আৰ, এম আৰু এনক সন্তুষ্ট কৰে- ⟨P=H[I+(1-H)G]⟩।

প্ৰমাণ: ^১যিহেতু আমি সকলো ব্যক্তিক আয়ৰ ক্ৰমত সজাইছোঁ, স্বতঃসিদ্ধ এমৰ বাবে আমি তেওঁলোকক উপযোগিতাৰ ক্ৰমত সজালেও একেই ক্ৰম লাভ কৰিম। অৰ্থাৎ, ⟨W_1(\tilde y) \leq W_2(\tilde y) \leq .... \leq W_n(\tilde y)⟩। যিকোনো ব্যক্তি ⟨i<q⟩ৰ বাবে, দাৰিদ্ৰ্য সীমা ৰেখাৰ তলত এনে ⟨q+1-i⟩ এনে ব্যক্তি আছে যাৰ উপযোগিতা ব্যক্তি ⟨i⟩তকৈ অধিক। সেয়ে, স্বতঃসিদ্ধ আৰ ব্যৱহাৰ কৰি, ⟨v_i(z, \tilde y)=q+1-i⟩।

ধৰি লওক ⟨Q(x)=A(z, \tilde y)\sum_{i \in S(x)} g_i v_i(z, \tilde y)⟩। ⟨A⟩ আৰু ⟨v_i⟩ৰ মূল্য নিৰ্ভৰ কৰে স্বতঃসিদ্ধ আৰ, এম আৰু এনৰ পূৰ্ত্তিত। আমি দাৰিদ্ৰ্যৰ সূচকক এনেদৰে সংজ্ঞায়িত কৰোঁ- ⟨P=\max_x Q(x)⟩। যিহেতু, প্ৰত্যেক ভৰ ⟨v_i⟩ ধনাত্মক, সেয়ে ⟨P=Q(z)⟩। দাৰিদ্ৰ্য সূচকৰ এই সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ যে⟨P=A(z, \tilde y) \sum_{i=1}^{q}g_i (q+1-i)⟩।

যদি সকলো দৰিদ্ৰ লোকৰ আয় অন্তৰাল সমান, দৰি লওক এনে- ⟨g*=z-y*⟩। তেন্তে আমি পাওঁ, ⟨P=A(z, \tilde y)g^*q(q+1)/2⟩। কিন্তু স্বতঃসিদ্ধ এনৰ মতে, ⟨P=\frac{q}{n}\frac{g^*}{z}⟩।

ওপৰৰ দুয়ো সমীকৰণেই বৈধ। সেয়ে আমি পাওঁ- ⟨A(z, \tilde y)=\frac{2}{(q+1)nz}⟩। ⟨A(z, \tilde y)⟩ৰ এই মূল্য ওপৰৰ ⟨P⟩ৰ সংজ্ঞাত ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ, ⟨P=\frac{2}{(q+1)nz}⟩⟨\sum_{i=1}^{q}(z-y_i)(q+1-i)⟩।

এতিয়া পূৰ্বতে চিনাকি কৰা গিনি গুণাংকৰ সংজ্ঞা আমি ব্যৱহাৰ কৰিম। যদি আমি কেৱল দৰিদ্ৰ লোকৰহে গিনি গুণাংক উলিয়াওঁ, ওপৰত উল্লেখ কৰাৰ দৰে, আমি পাম, ⟨G=\frac{1}{2q^2m}\sum_{i=1}^{q}\sum_{j=1}^{q}|y_i-y_j|⟩। যিহেতু ⟨|y_i-y_j|=y_i+y_j-2\min (y_i, y_j)⟩, আমি গিনি গুণাংকক এনেদৰেও লিখিব পাৰোঁ: ⟨G=1-\frac{1}{q^2m}\sum_{i=1}^{q}\sum_{j=1}^{q}\min(y_i, y_j)⟩⟨\Rightarrow G=1+\frac{1}{q}-\frac{2}{q^2m}\sum_{i=1}^{q}y_i(q+1-i)⟩।

⟨P⟩ আৰু ⟨G⟩ৰ সূত্ৰ তুলনা কৰি, আমি দেখি পাওঁ যে, ⟨P=\frac{1}{(q+1)nz}[zq(q+1)+q^2m(G-\frac{q+1}{q})]⟩। এতিয়া, ⟨H⟩ আৰু ⟨I⟩ৰ সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি আমি লিখিব পাৰোঁ, ⟨P=H[1-(1-I)(1-G(\frac{q}{q+1}))]⟩।

⟨q⟩ যদি যথেষ্ট ডাঙৰ, ⟨P\thickapprox H[I+(1-I)G]⟩। অৰ্থাৎ, যেতিয়া ⟨q \rightarrow \infin⟩, আমি পাম, ⟨P=H[I+(1-I)G]⟩।

লগতে চাওক

• নাশ্ব সাম্যাৱস্থা
• উৎপাদকৰ আচৰণৰ তত্ত্ব
• মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্য