সীমাৰ তালিকা

সীমা (Limit) সম্বন্ধীয় কেইটামান উপপাদ্য আৰু সাধাৰণতে প্ৰচলিত কেইটামান সীমা। ইয়াত a আৰু b হ'ল ধ্ৰুৱক আৰু x হ'ল চলক।

কেইটামান উপপাদ্য

যদি ⟨\lim_{x \to c} f(x) = L_1⟩ আৰু ⟨\lim_{x \to c} g(x) = L_2⟩ তেন্তে

⟨\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2⟩

⟨\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2⟩

⟨\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad⟩ যদিহে ⟨L_2 \ne 0⟩

⟨\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n \qquad⟩ যদিহে n এটা ধনাত্মক সংখ্যা।

⟨\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n} \qquad⟩ যদিহে n এটা ধনাত্মক সংখ্যা আৰু যদি n যুগ্ম সংখ্যা, ⟨L_1 > 0⟩

⟨\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad⟩ যদিহে ⟨\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0⟩ বা ⟨\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty⟩ (L'Hôpital's rule)

⟨\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)⟩

⟨\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)⟩

⟨\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)⟩

কেইটামান বিশেষ সীমা

⟨\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk}⟩

⟨\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}⟩

⟨\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k⟩

⟨\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e⟩

⟨\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi⟩

কেইটামান সৰল ফলনৰ সীমা

⟨\lim_{x \to c} a = a⟩

⟨\lim_{x \to c} x = c⟩

⟨\lim_{x \to c} ax + b = ac + b⟩

⟨\lim_{x \to c} x^r = c^r \qquad⟩ যদিহে r এটা ধনাত্মক সংখ্যা

⟨\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty⟩

⟨\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = \begin{cases} -\infty, & \text{if } r \text{ is odd} \\ +\infty, & \text{if } r \text{ is even}\end{cases}⟩

ঘাতাংকীয় আৰু সূচকীয় ফলনৰ সীমা

যদি ⟨a > 1 \,⟩ হয়, তেন্তে

⟨\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty⟩

⟨\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty⟩

⟨\lim_{x \to -\infty} a^x = 0⟩

যদি ⟨a < 1 \,⟩ হয়, তেন্তে

⟨\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty⟩

ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ সীমা

⟨\lim_{x \to a} \sin x = \sin a⟩

⟨\lim_{x \to a} \cos x = \cos a⟩

⟨\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1⟩

⟨\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0⟩

⟨\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}⟩

⟨\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad⟩ যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা n ৰ বাবে।

অসীমৰ সমীপত

⟨\lim_{x\to\infty}N/x=0⟩ যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা N ৰ বাবে। ⟨\lim_{x\to\infty}x/N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \text{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N < 0 \end{cases}⟩ ⟨\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N < 0 \end{cases}⟩ ⟨\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & 0 < N < 1 \end{cases}⟩ ⟨\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0⟩ যিকোনো ⟨N > 1⟩ ৰ কাৰণে। ⟨\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \text{does not exist}, & N < 0 \end{cases}⟩ ⟨\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}= \infty⟩ যিকোনো ⟨N > 0⟩ ৰ কাৰণে। ⟨\lim_{x\to\infty}\log x=\infty⟩ ⟨\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty⟩